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本サイトの「C言語とPC」に、遥か昔に書いた記事だが、xy平面上、軸に沿って格子状に配置され、無限に広がる抵抗器Rの合成値を計算しようとして挫折した内容。

隣接2点の間なら、合成値が0.5Rとなるらしい。それ以外の2点間の合成値も知りたい。たとえば、ある点を原点として、(0,0)-(1,1)や、一般化した(x1,y1)-(x2,y2)の間の抵抗値など。

数十個、数百個の抵抗器を実際に半田づけして、ネットワークを組むことができるので、ある値に収束することは間違いない。数学的に証明しなくても、どの2点間にもただひとつの抵抗値しか存在しないことは計算しなくてもわかる。問題はその値はなにか。

四角形以外に、三角形、6角形様々な形、また平面だけでなく立体面など、多くのバリエーションが簡単に思いつく。ほかに、x軸とy軸とに異なる抵抗器を置くこともあり得る。

以上の問題は無線工学とは一見無関係のようだが、オーム定理しか関わらないので基礎問題だといえなくもない。しかし、ネットで調べたら、この種の問題はドクター論文であったり、学術論文になっているので、大変奥深い数学問題になっている。円周率Πが答えに含まれるので、代数方程式では到底答えが出せない。

x軸上のみ配置されたネットワーク抵抗器全体の合成値問題が第1級陸上技術士の過去問にあったので、この記事の内容を思い出した次第。

なお、複素数を含めた定積分をCAS電卓 TI-Nspire CAS Touchpadにやらせたら、一瞬にして答えが出た。数式の入力に数分かかったけど。正解は 2/pi = 0.63662 なので、残念ながら電卓は符号を間違えた。

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