平成15年12期A-4という問題。下図に示す回路において、5 [Ω]の抵抗に流れる電流は?

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電源を1つ1つ外して、いわゆるテブナンの定理でやってみたものの、並列抵抗の計算が面倒臭くて途中でキルヒホッフに変えた。

ループを2つ描いて、それぞれのループに流れる電流は i1 と i2 とすると、上のループにおいては、

46 – 16 = i1 x (6+6) – i2 x 6

等号左側は電源の電位和。i2 の方向がループ1と逆なので、マイナス符号。また、下のループにおいては、

16 – 7 = i2 x (6 + 5) – i1 x 6

それぞれの式を整理すると、

30 = 12 x i1 – 6 x i2
9 = -6 x i1 + 11 x i2

になる。下の等式を2倍して、上の式に足すと、30 + 18 = 12 x i1 -12 x i1 – 6 x i2 + 22 x i2

整理すると、 48 = 16 x i2

ゆえに、 i2 = 3。

つまり、5Ωの抵抗に流れる電流は 3 [A] 。

ちなみに、i2 の値を上の式に代入すると、 i1 = 4 [A]、上の6Ω抵抗に流れる電流は 4A。真ん中の6Ω抵抗に流れる電流は 1A。左端と右端の電位差は 22V(右端が高い)。ということがわかる。

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答を出したら、やっと相対電位で考えると、電流的には下図と等価することに気づいた。

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電源をひとつひとつ取り外して計算してみたが、それでも抵抗の並列接続で簡単に計算できない。つまり、39V電源を残したときに、真ん中の6Ωと下側の5Ω抵抗が並列接続していて、合成抵抗が30/11(30Ωの抵抗が11個並列接続と等価)。上側の6Ω抵抗に流れる電流は39/(30/11+6) = 143/32。その電流による電圧降下が143/32 x 6 で、5Ω抵抗にかかる電圧は 39 – 6 x 143/32、電流は (39-6×143/32)/5。

同様に、9V電源を残したときに、真ん中の6Ω抵抗に流れる電流は 9 / (30/11+6) = 33/32。5Ω抵抗にかかる電圧は 9 – 6×33/32、電流は (9-6×33/32)/5。

合計すると、(39-6×143/32)/5 + (9-6×33/32)/5 = (48-6×176/32)/5 = (48-3×11)/5 = 15/5 = 3
、やっと答が出た。5Ωではなく、計算しやすい抵抗値であれば、下の解法が速いかも。

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それにしても、1級アマの試験なので、ありえる抵抗値にして欲しかった。51Ωや62Ωにすれば一層現場に近い。計算時間がもっとかかるが。

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