漆器と置時計をもらってきた。漆器は皿の底が綺麗だが、周りの塗装に点々の剥げがある。置時計はクォーツ、金属製で重い。好みのローマ数字が気に入り。

素朴な暮らしを志向しているひとが多く、こういう品は人気があまりない。しかも、置時計は100円で買える時代だ。

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ゴミだらけのネット空間に比べ、大家や専門家の書いた書物を陳列する図書館が好き。本日、たまたま、『上海にて』が目に止まった。終戦前後の上海をレポートしているような文学作品。作者の堀田氏が1918年生まれ、1945.3.24〜1946.12.28上海にいた。終戦後も国民党に留用されていたという。日本軍、そして国民党に奉仕した彼はなぜか中国共産党に味方し、戦後日本を代表する進歩派知識人だったらしい。その証拠として、ノーベル文学賞者大江健三郎氏が本書を解説し、「中国について日本人が、戦後に書いた、もっとも美しい本のひとつがこれだと」評したのである。

時間をかけ、じっくりと読破したい。本のベースになっていると思われる「上海日記」をも手に入れたい。


中国のネットでは、上海のメインストリート「淮海路」は、最初の名が「西江路(1901年1月30日)」、その後「宝昌路(1906年10月10日)」「霞飞路(1915年6月21日)、英語名 Avenue Joffre」「泰山路(1943年10月8日)」「林森路(1945年10月)」と改名され、1950年5月25日に現在の名になった、との情報に対して、本書では、「アヴェニュ・ド・ジョッフル=霞飞路 → 中山路 → 中正路 → 淮海路」と証言している。また、改名の時期としては、太平洋戦争開始と同時に日本軍が租界を接収して汪精衛政権に返還したときと、1945年日本軍が降伏したとき、1945年上海が解放されたとき、とも説明している。どっちが正しいか。

運転歴ウン十年間、接触事故がなかったわけではないが、保険を使ったのは今回が初。保険会社は全労済(マイカー共済)という変わったところ。最高等級の22等級(年間保険料24,130円)。保険内容は以下。

人身傷害補償:なし
搭乗者傷害特約(補償型):1千万
自損事故傷害特約:1千5百万
無共催者傷害:無制限
対人賠償:無制限
対物賠償:1千万(うち自己負担額は3万円)

自宅駐車場で、相手の車を傷つけた。外車のミニクーパー(BMWグループ傘下)。傷自体は幸い小さいと思うが、直すのに幾らかかるかは分からないので、周りのアドバイスに従って保険を使うことにした。

保険会社に電話し、要件を伝えた。翌日、保険員らしい女性から折り返し電話があって、修理代が3万円以内なら自己負担をお願いするが、それ以上なら3万円以外に、来年度から保険の等級が19に下げられ、千円強の追加保険料が必要等の話が聞かされた。また、外車は概して修理代が高く、修理期間中指定した車種の代車を要求してくることもあるから、総額3万円を超えると思ったほうがよい、とのアドバイスもあった。

昨日、事故原因状況報告書が送られ、記入後提出の予定。

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LGBTや離婚への容認等、現代社会での男女結婚は必ずしも人生における必須事項でなくなった。しかし、相手に対する責任、子育てして人間ひとりとしての成長を経験すれば、二人が結婚して協力しあうことの素晴らしさを自ずとわかる。

結婚記念日の呼び名は大抵、5年毎に、木婚式、錫婚、水晶婚、磁器婚、銀婚、真珠婚(30周年)、珊瑚婚、ルビー婚、サファイア婚、金婚(50周年)、エメラルド婚、ダイヤモンド婚(60周年)、ブルーサファイヤ婚、プラチナ婚式(70周年)といい、20年以降は貴金属や宝石で命名している。20代で結婚したとしても、プラチナ婚なら二人揃って90代になるので、驚き以外のなにものでもない。

金婚かダイヤモンド婚、健康であれば、それぐらいは一度経験したいものだ、ひとりで決められることではないにしても。

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フランスの経済学者、トマ・ピケティ (Thomas Piketty) 氏の著書『21世紀の資本』が日本では大ブームになっている。財産の成長率が常に賃金の成長率を上回るという。

資産運用によって財産を築いている富裕層は、株や不動産を保有しているだけで、多大な利益を獲得できる。一方、労働者はいくら働いても賃金の上昇はゆるやかで、富裕層の財産の収益率に負けてしまう。労働賃金がつねに不労所得を下回り、賃金を貯蓄したところで大きく増えるわけがない。こうして格差が広がってしまう。経済格差が拡大していくことの根源が資本主義そのものにあろう。

さて、誰もが興味をもつのが人様の財産や給与。日本人の民間給与実態調査(https://www.nta.go.jp/kohyo/tokei/kokuzeicho/minkan/top.htm)は毎年、国税庁によって発表されている。それを見れば、とりあえず、労働賃金間の格差がわかる。

その実態調査でいう給与とは、「1年間の支給総額(給料・手当及び賞与の合計額をいい、給与所得控除前の収入金額である。)で、通勤手当等の非課税分は含まない。なお、役員の賞与には、企業会計上の役員賞与のほか、税法上役員の賞与と認められるものも含まれている」。要するに、会社から支給され、天引まえの年間給与のことだ。

では、実態調査から図表をいくつか引用しておこう。

業種別平均給与は以下。電気ガス水道等の業種が金融業をも抑えてもっとも高く、独占企業で競争知らず、公務員並みの安泰さか。

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年齢別平均給与は以下。男性は50代前半がピーク、女性は30代後半がピークのようだ。40代以降の女性は給与所得が男性の半分程度。男女平等はどこへ。

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勤続年数別平均給与は以下。男女問わず、勤続年数が30年前半がピーク。22歳で大学卒後の入社とすれば、55歳前後か。年功序列はまだ健在。

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最後のデータは給与分布。給与所得者数 4645万人のうち、年収 300万以下が 41% の 1900万人、400万以下が 58% の 2711万人。高級取りのほうは、年収 1000万以上が 4% の 186万人、1500万以上が 1% の 49万人。

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給与から所得税や地方税、保険等が引かれ、手取りは7〜8割前後。例えば、年収が最多の350万円なら、その8割を12ヶ月で均等すると、月収の手取りが約23万円。ただ、給与には年2回のボーナスも含まれているので、実際の手取りは毎月20万円前後かも。

ということで、日本人の給与は案外安く、アジアではシンガポールに負け、台湾や韓国と同レベル。アメリカの半分以下。

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複素数の世界では、x+i y の偏角は θ=arctan(y/x) で表現されるし、複素数同士の乗算による偏角は、それぞれの偏角同士の加算に対応する。

この性質を利用すれば、逆三角関数に関する多くの数学問題は簡単に解くことができる。


問題1.すべての実数 x について、-π/2 < arctan(x) < π/2 とするとき、次の値を求めなさい。

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<解答>
arctan(1) に対応する複素数は 1+i 、arctan(2) に対応する複素数は 1+2 i、arctan(3) に対応する複素数は 1+3 i であるので、乗算を行い、偏角を求めていく。

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複素数 -10 の偏角は π であり、それが与式の値となる。


問題2.次式

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が成り立つような正の整数 x, y の値を求めなさい。ただし、y = arctan(x), y = arccos(x) はそれぞれ、y = tan(x), y = cos(x) の逆関数の主値を示す。

<解答>
与式を複素数で表現すれば、次式が成り立つ。

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対応する偏角間の関係式は以下になる。

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すなわち、

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問題3.次式を計算しなさい。

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<解答>
いわゆるマチンの公式というもので、円周率π の計算に使われていた。係数4が偏角の4倍を意味するので、複素数の4乗に相当する。減算は複素数の除算で表現する。

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最後の複素数は実数部と虚数部が等しいので、その偏角は π/4 となる。つまり、与式の値は π/4 である。


研究課題.複素数のべき乗数が高くなると、手計算は大変。以下の式は電卓やパソコンを使えば簡単な四則演算だけで証明できるはずだが。

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計算すべき複素数は以下の通り。実数部と虚数部が等しくなるか。

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数検にたまに出題される積分問題。円の面積等、原点との距離が変わらない図形の計算には極座標に変換したほうがよい。

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xy 座標のままで計算すると時間がかかるし、間違いやすい。そこで、 極座標に変えて計算する。

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もう一例。

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積分領域が半径1の円内。

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微分処理と違って、積分できない関数(あるいは、初等関数では表せない関数)はいくらでもある。しかし、そのうち、極座標に変換すると運良く積分できるものがある。

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関数の極限を求める問題が数検でもよく出てくる。多くは極限が 0/0、∞/∞ の形、いわゆる不定形の極限、という問題だが。

不定形の極限について、その解法を以下まとめてみる。


解法一、ロピタル (Hopital) の定理を使う。

0または∞に向かうスピードが原関数の微分で決まる、という原理に基づく解法。例をいくつか紹介する。

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になるので、次式が成り立つ。

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解法二、多項式展開(テーラー展開かマクローリン展開)を使う。

原関数を多項式で近似して比較するという解法。解法一の微分処理で返った複雑な形になった時に使える方法。以下に3例をあげる。

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なお、上式の計算では前半に関数cos(x) のマクローリン展開を、後半にロピタルの定理を使った。マクローリン関数だけを使っても、あるいは、ロピタルの定理だけを使っても解にたどり着くが、ケースバイケースで使い分けすれば、より簡潔に計算できよう。


さらに、階乗の極限計算が問われることもあるので、次式通りのスターリングの近似式を覚えるといいだろう。

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そうすれば、次の問題は簡単に解ける。

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最後に、研究問題をおいておく。

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あらゆる関数 f(x) を x の多項式で表そうという考えがある。数表の作成や、コンピュータによる数値計算では絶大な効果をあげている。

原点 x=0 近傍の f(x) を多項式で表したのがマクローリン展開という。ただし、ln(x) や 1/x、1/sin(x) など、x=0 では無限に発散してしまう関数は無論、そのマクローリン展開は存在しない。

マクローリン展開の条件はともかく、微分操作の理解度や、手計算技能(限られた時間の中で、電卓も算盤もなく、紙と鉛筆だけで正確に計算できるか、いわば現代版拷問)を問うには良い素材として、数検の問題にもよく使われる。

そういうことで、本記事は如何に速くマクローリン展開を得るかに趣を置く。

まず、基本として、等比数列からスタートしよう。味方を変えれば、f(x)=1/(1-x) に関する立派なマクローリン展開だ。

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1/(1+x) に関しては、上の式(1) の x に –x を代入するだけで得られる。

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1/(x+1)の積分関数は ln(x) になるので、上記の式(2)の左右両辺を積分すれば、ただちに、対数ののマクローリンを得る。

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指数関数のマクローリン展開は基本中の基本なので、覚えよう。関数 e^x は微分も積分も自分自身というトンデモナイ特徴を持っているし、工学の世界ではラプラス変換など多くの活用が工夫されている。

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また、複素数の世界では e^(ix) = cos(x) + i sin(x) という関係があるので、式(4)の x に ix を代入して、実数部と虚数部とに分けて整理すると、sin(x)およびcos(x)のマクローリン展開が得られる。ただ、一々代入しなくても、sin(x)は原点対称、cos(x)はy軸対称という特性に注目すれば、式(4)のx奇数項がsin(x)用、偶数項がcos(x)用にし、符号が一つずつ入れ替わることと覚えれば、ただちに式(4)から下の2式を得ることができる。

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あるいは、sin(x)の微分がcos(x)、cos(x)の積分がsin(x)という関係で上記の式(5), (6)の正しさを検証するのもよい。

arctan(x)の微分は 1/(1+x^2) になるので、

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左右両辺を積分すれば、arctan(x) のマクローリン展開が得られる。

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さて、マクローリン展開をほかの関数にも使えるように、二項定理の指数を実数にまで拡張する。

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そうしておくと、arcsin(x) のマクローリン展開が簡単に書けるようになる。なぜなら、arcsin(x) の微分関数がつぎになっているからだ。

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式(9)をもって右辺を展開すると下記になるので、左右両辺をさらに積分すれば、arcsin(x) のマクローリン展開を得ることができる。

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また、arccos(x) については、

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であり、式(10)とは符号が違うだけだ。arccos(0) = π/2 ということを忘れずに取り入れると、arccos(x) のマクローリン展開が得られる。

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こうすれば、覚えることなく、常用関数のマクローリン展開はあっという間に書き出すことができる。限られた時間の試験中はこういうノウハウをぜひ活用したいものだ。

ところで、tan(x) という関数はまだ簡単にそのマクローリン展開(前6項を5分以内)が書けない。今後の研究課題としよう。

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また、証明は略するが、いくつか重要な関数のマクローリン展開をおいておく。

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<問題>√(1+sin(x)) (0<x<π) をマクローリン展開して、定数項からx^5 の項までを求め、和の形で表しなさい。

<解答>

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与式が sin(x/2)+cos(x/2) に変換できることに気づけば、sin(x) と cos(x) のマクローリン展開を書き、解答となる。


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<解答>
e^(3x) のマクローリン展開は式(4)に x=3x を代入して得られる。

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また、sin(2x) のマクローリン展開は式(5)に x=2x を代入して得る。

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上の2式の積を取り、x のべき乗について整理する。

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マクローリン展開の定義により、それぞれの導関数の値は以下になる。

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4月19日のデータベース試験を睨みながら、数学検定1級の勉強も始まっている。過去問をやってみたところ、できない問題がほとんど。ショック。

タイムスリップして、大学時代に戻れば、そんな試験はちょろいのはず。数学は大の得意科目だったから。それから数十年、仕事で微積分や微分方程式を使ったことは一度もないし、行列や方程式はソフトを使えば一発で答えが出る。大学数学は実生活にも、仕事にも全く必要なく、記憶から消え去ったのだ。

それでも悔しくて、「実践演習」を購入。さらに、2次試験の過去問がネットにも少ないことから、「発見I」を追加購入。試験日まで、勉強時間はたっぷりある。慌てず焦らず諦めず、大学時代の勘を取り戻せば、きっと一発合格になるはず。

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試験の内訳および合格率(2013年)は以下の通り。語学と違って、数学問題はいくらでも難しく出題できるし、実用性がほとんどないので、1級の年間合格者は100人未満。現役の大学生だけでも300万人いることを考えると、大学数学レベルとはいうものの、1級の難しさは半端でないことがわかるだろう。

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