聞かれたので、解いてみた。算数オリンピックの問題だというければ、良く判らない。

<問> 40人の盗賊がA組とB組に別れて盗んできた。A組は1人が7枚ずつの金貨、B組は1人が6枚ずつの銀貨を取ってきた。
 金貨をB組の者に分けると、ちょうど割切れて同じ数ずつ分けることができた。銀貨をA組の者に分けても、同様だった。
 では、A組・B組はそれぞれ何人だったろうか。ただし、どちらの組の人数も、5の倍数ではない。

<解>取りあえず、ありふれた考えだけど、A組の人数をx、B組の人数をyとする。それで問からつぎの等式がつくれる。
  x + y = 40
  (7x) mod y = 0
  (6y) mod x = 0
mod は余り計算の意味。

で、xとyをそれぞれ代入して、
  (7*(40-y)) mod y = 0
  (6*(40-x)) mod x = 0
さらに展開すると、
  (280-7y) mod y = 0
  (240-6x) mod x = 0
となる。

(7y) mod y = 0と(6x) mod x = 0 は自明なので、結局上の2式は
  280 mod y = 0
  240 mod x = 0
となる。280と240の素因数分解をそれぞれやると、
  280 = 23*5*7
  240 = 24*3*5
となる。x+y=40という条件にあい、それぞれ5の倍数でない(x,y)の組は
  (x,y) = (12,28)
のみである。

ということで、それぞれの人数はA組が12人、B組が28人。なお、盗んだ金貨は全部で84枚、銀貨は168枚であり、A組では1人当たり14枚の銀貨、B組では1人当たり3枚の金貨が配られていた。

5の倍数でないという条件を外したら、解のペアがもっと増える。
 (x,y) = (5,35), (20,20), (30,10)

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