150224-1

複素数の世界では、x+i y の偏角は θ=arctan(y/x) で表現されるし、複素数同士の乗算による偏角は、それぞれの偏角同士の加算に対応する。

この性質を利用すれば、逆三角関数に関する多くの数学問題は簡単に解くことができる。


問題1.すべての実数 x について、-π/2 < arctan(x) < π/2 とするとき、次の値を求めなさい。

150424-2

<解答>
arctan(1) に対応する複素数は 1+i 、arctan(2) に対応する複素数は 1+2 i、arctan(3) に対応する複素数は 1+3 i であるので、乗算を行い、偏角を求めていく。

150224-3

複素数 -10 の偏角は π であり、それが与式の値となる。


問題2.次式

150224-4

が成り立つような正の整数 x, y の値を求めなさい。ただし、y = arctan(x), y = arccos(x) はそれぞれ、y = tan(x), y = cos(x) の逆関数の主値を示す。

<解答>
与式を複素数で表現すれば、次式が成り立つ。

150224-5

150224-6

対応する偏角間の関係式は以下になる。

150224-7

すなわち、

150224-8


問題3.次式を計算しなさい。

150224-9

<解答>
いわゆるマチンの公式というもので、円周率π の計算に使われていた。係数4が偏角の4倍を意味するので、複素数の4乗に相当する。減算は複素数の除算で表現する。

150224-a

最後の複素数は実数部と虚数部が等しいので、その偏角は π/4 となる。つまり、与式の値は π/4 である。


研究課題.複素数のべき乗数が高くなると、手計算は大変。以下の式は電卓やパソコンを使えば簡単な四則演算だけで証明できるはずだが。

150224-b

計算すべき複素数は以下の通り。実数部と虚数部が等しくなるか。

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