関数の極限を求める問題が数検でもよく出てくる。多くは極限が 0/0、∞/∞ の形、いわゆる不定形の極限、という問題だが。

不定形の極限について、その解法を以下まとめてみる。


解法一、ロピタル (Hopital) の定理を使う。

0または∞に向かうスピードが原関数の微分で決まる、という原理に基づく解法。例をいくつか紹介する。

150223

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になるので、次式が成り立つ。

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解法二、多項式展開(テーラー展開かマクローリン展開)を使う。

原関数を多項式で近似して比較するという解法。解法一の微分処理で返った複雑な形になった時に使える方法。以下に3例をあげる。

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なお、上式の計算では前半に関数cos(x) のマクローリン展開を、後半にロピタルの定理を使った。マクローリン関数だけを使っても、あるいは、ロピタルの定理だけを使っても解にたどり着くが、ケースバイケースで使い分けすれば、より簡潔に計算できよう。


さらに、階乗の極限計算が問われることもあるので、次式通りのスターリングの近似式を覚えるといいだろう。

150223-7

そうすれば、次の問題は簡単に解ける。

150223-8


最後に、研究問題をおいておく。

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