【検索キーワード】 差分、和分、差分方程式

【注意】 別色は引用部分。

【参考文献】 渡部隆一著、『差分と和分』(共立出版、昭和57年10月)

差分方程式を高校1年生の学力レベルから解けるように展開している。線形1階差分方程式、線形2階差分方程式を扱っている。

差分方程式といえば、仲間の微分方程式を連想する。多くの微分方程式をすらすら解けるラプラス変換と同様、差分方程式を簡単に解けるのがZ変換という。本書では、Z変換への言及はない。そのかわりに、演算子法を利用している。

本書を手にしたのは、数列や級数とは密に関係にあるからだ。数列の漸化式が差分方程式そのもの。

【差分方程式とは】 関数 f(x) に、x = 0, 1, 2, 3, … を代入すれば、数の列 f(0), f(1), f(2), f(3), … ができる。一般に、このような数の列を数列といい、その各数を項という。f(x+1) と f(x) との間に、たとえば以下のような関係

140318.pngが成り立つと、f(x) に関する解が得られる。

140318-1.pngf(x) = f(x+1) – f(x) を f(x) の差分といい、未知関数の差分を含む方程式を差分方程式という。

導関数と同様、2階差分も定義されている。⊿2f(x)=⊿f(x+1) – ⊿f(x)。さらに、n 階差分 ⊿nf(x) まで拡張する。

いくつかの関数の差分は以下のとおり。

140318-2.pngその逆を本書では和分といい、⊿-1 で表現する。よく利用する関数の和分は以下のとおり。

140318-3.png

上の表を使えば、差分方程式の一部はスラスラ解ける。

【例】f(x+1) – f(x) = 3x2 – 2x + 4 と解け。

【解答】機械的に以下のように解く。

140318-4.png定数 Cf(0) の値によって決まる。

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