検索キーワード: 無限和、微分方程式

無限和をどんどん解いていこう。

【問題1】以下の無限和を計算せよ。つまり、f(x)を求めよ。

140312-1.png【解答】上式は最も知られる無限和のひとつ。f (x) が先に与えられ、右辺を導き出すのがふつうだが、今回は右辺から左辺を求めてみる。

左辺右辺をそれぞれ微分する。

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右辺は微分しても変わらないので、f (x) とする。なぜ、無限でなきゃいけないか、微分操作でその意味がよくわかった。

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これでまた、微分方程式が得られた。簡単なので、すぐに解ける。

140312-4.pngただし、C は積分定数であり、以下にしてC の値を決める。

140312-5.png当たり前の解答を得る。

140312-6.png【解答終】

多項式の無限和に展開して、微分しても、積分しても変わらない関数はただひとつ、それは ex という指数関数だ。ネイピア数 e は無限の顔ともいえよう。

それを理解すれば、展開式の各項は必ず

140312-7.pngの形でないといけないことも理解できよう。指数関数 ex のマクローリン展開が忘れたとしても、微分積分しても変わらないという本質を覚えていれば、すぐに書き出せるはず。

【問題2】以下の f(x)を定めよ。

140312-10.png【解答】等式の左右をそれぞれ微分すると、右辺は等比数列になる。

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微分方程式を解く。

140312-12.png積分定数 C を定める。

140312-13.png対数関数が答え。

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【考察】x = 1 にすると、以下の通り、逆数の交代和(符号が入れ替える和)が得られる。

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