検索キーワード: 総和、無限和、微積分、マクローリン展開

いきなりだが、つぎの式は収束するか、収束値はなにか。詳しいひとはすぐに答えられるが、規則性について考えてみたい。数学者が散々研究してきたので、なにか見つけることはありえないが、趣味ということで。

【問題】以下の式の値を求めよ。

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【雑談】ちなみに、各項の符号をすべてプラスにしたもの、つまり、奇数の逆数の和は無限大に発散することが知られている。

140311-11.pngそれだけでなく、奇数の中でもごく一部しか存在しない素数、その逆数の和も無限大になる。

140311-12.pngしかし、1, 4, 9, 16, 25, 36 等の平方数の逆数の和は収束する。オイラーが π 2/6 になることを証明し、世間を驚かせた。驚いた理由はふたつ、① 円周率が式の右辺に突然出てきたこと、② 平方数の数が素数よりも少ないこと。

140311-13.pngということで、平方数よりも間隔の大きい数列(3乗、4乗、2.1乗、等など)はすべて収束することが言える。

【解答】さて、問題に戻る。分母の 1 は x = 1 という代入によってできたと考えてみよう(真相は答えを知っているから、こう言っただけだけど)。さらに、分母の 3, 5, 7, 9 を消したいので、x のべき乗で考えてみようと。ここの飛躍に規則性というか、ルールみたいなものがあると、他の数列の和に応用できるかも。本問題を考える目的は実はここにある。

ということで、神様のお導きでつぎの式にしたとしよう。

140311-14.png等式の左辺右辺を微分して、さらに、右辺の等比数列の和を取ると次式になる。

140311-15.pngつまり、以下の微分方程式が得られ、簡単に解ける。なお、arctan はtan 関数の逆関数を表す。

140311-16.png140311-17.png

もとの式の左辺に代入して、x = 0 で積分定数を決めると、C = 0 となる。

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最終的に x = 1 にして、与式の値が得られることになる。

140311-19.pngよく知られている答えと同じ。また、arctan(x) のマクローリン展開は x = 1 を代入する前の式と同じ。

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そう簡単でないかもしれないが、微分したり積分したり、無限和の問題はなんとかして、解析学の力で解こうと考えているこの頃。

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