検索キーワード: 極限値、収束、収束性、総和、総乗、無限和、無限乗積、無限積

無限にロマンあり。人間や人生を狂わせることもある。式で表現されるととても美しく感じるものでもある。

無限和の場合、定積分という強力な武器を手にしたので、なんとか計算できることが多い。しかし、無限積(無限乗積ともいう)となると、お手上げのケースがほとんど。

【問題1】以下の式の収束性を示せ。

140310-10.png計算できるように問題が作られているので、うまく分解して、分子分母を約分していけば、簡単な形になる。つまり、n2-1 = (n -1) (n +1) をうまく利用するのだ。

140310-11.png左右隣りの分子分母を約分すると、下の項しか残らなくなり、収束する。

140310-12.pngちなみに、電卓で以下のように、先頭の9項だけ計算したら、0.55と出た。0.5に近づくことが実感できよう。

140310-13.png

【問題2】以下の式の極限値を求めよ。

140310-14.png無限小 1/n を無限個集めたら、無限小なのか、無限大なのか、それともゼロ以外の値に収束するのか。

総和の値を得るために、積分で計算してみるのはよくある手法。積分の着想は総和にあったから。以下のとおり、積分関数にうまく変身させた。

140310-15.png答えの ln2 = 0.69314。

以上の2問は都合よく解けたが、解くためにつくられて問題であって、無限積と無限和の問題はほとんど解けない。数学者が研究することがなくなっているというが、井の中の蛙大海を知らず。ただ、コンピュータを使えば、実用範囲では簡単に計算できるので、情報科学的に(精確には、アルゴリズム的に)は解ける問題といえよう。

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