検索用キーワード: 極限、階乗、Stirling公式

数学解析のなかで、極限値の計算はわりと簡単なものだが、難問がないわけではない。① 階乗が問題に入った場合に、Stirling 公式を知らないと困ることがある。② 無限積や無限和が入った場合、③ 積分関数や高階導微分関数が入った場合、など。

以下の問題は階乗に関するもの。Stirling 公式の出番。円周率 π 、ネイピア数 e がともに入っていて、それなりに美しい式だと思う。

140309-10.png

【問題】 以下の式の極限値を計算せよ。

140309-11.png【解答】分母は奇数だけの積だが、分子分母に偶数を追加して、階乗の形に整えてから、Stirling 公式を適用し、式を整理すれば終わり。

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なお、分子が奇数の積ではなく、ふつうの n 階乗なら、極限値は 1/e になる。

140310-1.pngあるいは、逆数の形にして、答えを e にする。

140310-2.png【注意】 本問題の分母 n をカッコ内に移すと、つぎの式になる。階乗がいかに無限大への発散スピードが速いか、本問題でもよくわかる。n 次根をかけてやっと定数になるから。

140310.png

一般的に、無限大に向かうスピードは以下の通り。無論、分母に来れば、ゼロに収束するスピードになる。

対数<べき乗<指数<階乗

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