検索用キーワード： 共役複素、複素共役、共役複素数、共役無理数、n乗、整数、有理数
勉強していて、感じたことをメモしていく。数式というものは、なかなかうまく検索できないので、上記のように、検索用キーワードを多く並べてごまかすことにした。
Googleはすごいといわれるけど、二項定理
をどう検索すればいいんだろう。『ユークリッド原論』は式をひとつも使わず、言葉で式の意味を表現したのはきっと本質的な理由があったのだろう。
さて、ある数学のことを考えたら、つぎの計算が整数であることを証明する必要があった。
【問題】つぎの式が整数であることを証明せよ。
ただし、n は自然数（１以上の整数）、i は虚数記号。【問題終】
【雑談】
上記のような、虚数部の記号がプラスかマイナスか、だけが異なる２つの複素数を共役複素数、または、複素共役という。共役複素数ペアのお陰で、虚数はわれわれ人間に普段観察されることはなかった。つまり、共役複素数によって、虚数の世界が何千年もうまく隠されてきた。
物を数える必要性から人間が整数を発見した。『ユークリッド原論』の表現を借りれば、「単位とは存在するもののおのおのがそれによって１とよばれるものであり、数とは単位からなる多である。」 また、物を皆に平等に分配することの必要性から、人間が分数（つまり、有理数）を発見した。その後、正方形の対角線の長さが分数では表わせないことから、人間が無理数を発見した。虚数は数学者ガウス個人の偉大さによって考案されたが、その後いろいろな物理現象を説明するには大変都合がいいことがわかり、いまは、一般的に、虚数が存在すると信じられるようになった。
信じることは存在か。存在とはなにか。そういうことを考えながら虚数を勉強すると、数学もとても楽しく思ってくるかも。
なお、数学者ガウスは計算狂であり、分解狂だった。計算自体が楽しくてしょうがなかった。言葉を覚えるまえに、計算ができたという神童だったし、円周率 π を何十桁まで計算したり、天文台長の時代に惑星の軌跡の計算を助けてくれる助手の推薦を断ったりしていた。また、分解のことをいうと、-1 を i の２乗に分けたり、素数を分解していたことが美談。素数 5 はガウスにとって決して素数でないかもしれない。5 = (1+2i) (1-2i) で、二つの虚数の積になっているから。【雑談終】
【解答】余談はここまで。さて、n = 1 のときは、整数であることは簡単に確認できる。
n = 2 のときは、ちょっとした計算が必要だが、展開すると整数になっている。
ここで、数学帰納法を使って、3 以上の n についても正しいことを証明していく。そのために、n = k-1, n = k のときに正しいと仮定する。また、共役素数を α, β として、それらの和と積を計算しておく。
とすると、以下のように、α2 について重要な式★ が成り立つ。
同様に、β2 についても
が成り立つ。
準備が整ったところで、n = k+1 のときの証明を行う。
最後の２項は仮定により、それぞれが整数であるので、αn+1 + βn+1 も整数であることがこれで証明された。
なお、二項定理を使って、α+β の n 乗を展開すると、
が得られる。上式の左辺は整数だし、右辺の第１項＋第２項は上記の証明になり、整数であるので、第３項も整数になる。つまり、つぎの N は整数。
【解答終】
【考察】記号で書くと、上式の複雑さは伝わってこないかもしれないが、平方根あり、虚数あり、階乗あり、総和あり、一見して整数にはとても思えない。
αn + βn の値は各 n に対し、実際に以下のようになっている。符号に規則性があるか、値自体に規則性があるか、気になる。
3, -1, -18, -49, -57, 74, 507, 1151, 918, -3001, -13593, -25774, -9357, 100799, 349182, 543551, -115257
ガウスなら手計算するかもしれないが、自分は電卓の力を借りただけ。
もう一度本問題を考えなおすと、２乗を下げる式★ がキーポイントだと改めて認識じた。
αn も α の１次式になるだろう（数学帰納法で簡単に証明できるはず）。最後に αn + βn によって、α と β のペアが整数 3 に置き換えられ、全体が整数になる仕組みだ。
本問題を一般化するのは簡単、つまり、α+β および αβ が整数なら、αn + βn が整数。α と β は共役素数でも共役無理数でも同じことがいえよう。【考察終】