高校までの数学なら、有名大学の入試問題は別にして、概ねできると思ったら、落とし穴があった。行列のケーリー・ハミルトン定理(Cayley-Hamilton theorem)は知らないのだ。

ケーリー・ハミルトン定理とは、正方行列 A に対し、つぎの式をいう。

140308.pngtr(A) は行列 A の trace といい、対角成分の総和を表す。det(A) は行列 A の行列式を表す。E は単位行列。

とくに2次行列に対するケーリー・ハミルトン定理の応用問題は試験によく出てくるので、覚えないといけない。

140308-1.png問題、以下の行列 A に対し、An を計算せよ。

140308-2.png答え、

140308-3.png

一般的に、上記のような2次行列に対応して、2次方程式(左辺は固有多項式ともいう)が

140308-4.png① 異なる実数解 x1, x2 をもつときに、行列 An 乗は

140308-5.png

で与えられる。

② 2次方程式が重解 x1 をもつときに、行列 An 乗は

140308-6.pngで与えられる。

③ 2次方程式が複素数解をもつときに、課題として出しておく。

Comments are closed.

Post Navigation