前回の記事 「大きさとの戦い」 では結局解き方が判らなくて、そのまま、中途半端に終わってしまった。

その時はまだ簡単に解けそうな問題が結構残っていたのだが、ここに来ると一問一問解くのに益々時間がかかる気がしてきて、再チャレンジしてみた訳だ。

さて、その記事では、最終的に得られた方程式は

   (2t+1)2 - (2s)2 2/(2n+1) = 1  (n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

というものだった。X = 2t+1とし、n に 0~7の値をそれぞれ代入すると、つぎの8つの方程式が得られる。
   X2 - 8s2 = 1
   X2 - 8/3 s2 = 1
   X2 - 8/5 s2 = 1
   X2 - 8/7 s2 = 1
   X2 - 8/9 s2 = 1
   X2 - 8/11 s2 = 1
   X2 - 8/13 s2 = 1
   X2 - 8/15 s2 = 1

分母を払うために、s にそれぞれ、以下のものを代入する。すると見事にペル方程式にたどり着く。

右列の Ans 部分は、ペル方程式の一般解 (X, Y) のうちの Y の値を、問題の解答に対応させるためのもの。

ペル方程式の解き方は既に 昔の記事 に書いたので、詳細はそちらを参照されたい。

結論的にいうと、方程式の数は9個と多いが、それぞれに簡単に最小解が得られる。さらに、多倍長整数とペル方程式の解の漸化式を使えば、一般解もすぐに判る。

たとえば、2番目のペル方程式 X2 - 24Y2 = 1 の最小解は (5, 1)。一般解は

 Xn+1 = 5 Xn + 24 Yn
 Yn+1 = 5 Yn + Xn
 X1 = 5
 Y1 = 1

になり、最小解(初期解)から漸化的に計算していくと、
 (X, Y) = (5, 1), (49, 10), (485, 99), (4801, 980), ...
 Ans = 9Y2 = 9, 900, 88209, 8643600, ...
が得られる。

解答をすべてここに書くのはまずいが、条件を満たす数は計 112 個。ラストの10個は以下となっている。

73702684612392858376746072080400
151046383493325234090009219613956
663812918895887474609694358375209
1359417451439927106810082976525604
5131130648390546663702275158894481
8758618149740884101499623707907225
35524541072381125235676320801486025
46180175835514919973320476430050329
60153048103383854522005973075150400
65046891745147247744323041849672900

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